Загадковий світ чисел: як працюють системи числення і чому без них не обійтись

Ми настіль­ки зви­кли до цифр, що навіть не зами­слю­є­мо­ся, звід­ки вони взя­ли­ся і чому запис вигля­дає саме так. Але систе­ми числе­н­ня — це не про­сто набір цифр, а справ­жня нау­ко­ва й куль­тур­на рево­лю­ція, що впли­ну­ла на роз­ви­ток циві­лі­за­ції, техні­ки та науки. У цій стат­ті роз­гля­не­мо, як різні наро­ди раху­ва­ли, чому комп’ютери пра­цю­ють із двій­ко­ви­ми кода­ми і як пере­тво­ри­ти число з одні­єї систе­ми в іншу.

Що таке система числення

Система числе­н­ня — це спо­сіб запи­су чисел за допо­мо­гою визна­че­них сим­во­лів і пра­вил. Основою кожної систе­ми є її база — кіль­кість сим­во­лів, які вона вико­ри­сто­вує. У деся­тко­вій систе­мі їх 10 (від 0 до 9), у двій­ко­вій — лише два (0 і 1), а в шістнад­ця­тко­вій — аж 16 (0 – 9 та A – F).

Системи числе­н­ня вико­ри­сто­ву­ють у різних сфе­рах: мате­ма­ти­ці, інже­не­рії, про­гра­му­ван­ні. Наприклад, рим­ські цифри досі засто­со­ву­ють у нуме­ра­ції роз­ді­лів книг чи на цифер­бла­тах годин­ни­ків, а комп’ютери опе­ру­ють лише нуля­ми та одиницями.

Коротка історія чисел: від вузликів до нуля

Першими спосо­ба­ми облі­ку були заруб­ки, вузли та інші при­мі­тив­ні мето­ди. Згодом з’явилися шумер­ські, вави­лон­ські (на базі 60), єги­пет­ські, майян­ські та гре­цькі систе­ми. Особливо важли­вим стало від­кри­т­тя нуля і деся­тко­вої пози­цій­ної систе­ми в Індії — саме вона лягла в осно­ву суча­сної математики.

Завдяки пози­цій­но­сті зна­че­н­ня цифри зале­жить від її роз­та­шу­ва­н­ня. Наприклад, у числі 505 перша 5 озна­чає п’ятсот, а оста­н­ня — п’ять.

Види систем числення

Позиційні системи

Позиційна систе­ма — це така, у якій зна­че­н­ня цифри зале­жить від її місця. Сюди належать:

1. Двійкова (осно­ва 2): 0 та 1. Уся суча­сна еле­ктро­ні­ка пра­цює саме на цій системі.
2. Вісімкова (осно­ва 8): цифри 0 – 7. Використовувалася в про­гра­му­ван­ні рані­ше, зокре­ма в UNIX для прав доступу.
3. Десяткова (осно­ва 10): най­по­ши­ре­ні­ша в пов­сяк­ден­но­му житті.
4. Шістнадцяткова (осно­ва 16): 0 – 9 та A – F. Використовується в інфор­ма­ти­ці для ком­па­ктно­го пред­став­ле­н­ня двій­ко­вих даних (напри­клад, кольо­ри в HTML).

Непозиційні системи

У таких систе­мах місце сим­во­лу не впли­ває на його зна­че­н­ня. Найвідоміші приклади:

• Римська систе­ма: I, V, X, L, C, D, M — і скла­дні пра­ви­ла скла­да­н­ня й віднімання.
• Унарна систе­ма: най­про­сті­ша — число 5 запи­су­є­ться як /​/​/​/​/​. У реаль­но­му світі не має засто­су­ва­н­ня для вели­ких чисел.

Системи числення в інформатиці

Усі комп’ютери пра­цю­ють на двій­ко­вій логі­ці. Один біт інфор­ма­ції — це або 0, або 1. Але для зру­чно­сті про­гра­мі­сти вико­ри­сто­ву­ють шістнад­ця­тко­ву систе­му, бо одна її цифра замі­нює 4 біти, що сут­тє­во ско­ро­чує запис.

Також у фінан­со­вих обчи­сле­н­нях вико­ри­сто­ву­ють деся­тко­ві систе­ми, щоб уни­ка­ти поми­лок окру­гле­н­ня. Іноді засто­со­ву­ють навіть спе­ці­аль­ні двій­ко­во-деся­тко­ві фор­ма­ти (BCD).

Системи числе­н­ня — це осно­ва всіх обчи­слень. Від зару­бок на кіс­тках до скла­дних комп’ютерних алго­ри­тмів — шлях чисел вра­жає. Вони не лише допо­ма­га­ють нам раху­ва­ти, а й буду­ють міста, запу­ска­ють раке­ти і збе­рі­га­ють фото на теле­фо­ні. Тож насту­пно­го разу, вво­дя­чи PIN-код або від­кри­ва­ю­чи каль­ку­ля­тор, при­га­дай­те, що за цими цифра­ми сто­їть тися­чо­лі­тня історія.